EXPLICAÇÃO DO MÉTODO DE BOX-MULLER PARA GERAR V. A. NORMAIS

Mudança de variável em v. a. unidimensionais

Seja uma v. a. com função de distribuição e função de densidade Considere-se a mudança de variável , sendo

Sendo e as funções de distribuição e de densidade de respectivamente, vem:

e .

Mudança de variável em v. a. bidimensionais

Sejam duas v. a. com função de distribuição conjunta ) e função de densidade conjunta). Faça-se a seguinte mudança de varáveis:

() e ()

Podemos então obter a função de densidade conjunta das novas variáveis, ), em que	) =),

sendo o módulo do Jacobiano da transformação inversa. Como se sabe, é dado pela relação = .

Apliquemos este procedimento à v. a. normal bidimensional, para gerar valores para estas variáveis aleatórias.

Sejam e duas v. a. normais e independentes com média μ e desvio padrão σ. A função de densidade conjunta é

)=

Fazendo e , vem e e . A função de densidade de é ), com

) ) =

)

Faça-se outra mudança de varável, neste caso para coordenadas polares:

e , vindo ==

) , sendo

a função de densidade conjunta das variáveis e .

Façamos nova mudança de variáveis, fazendo e e . Temos , e a função de densidade conjunta de e é

após substituição de por e aplicando o procedimento descrito.

Como varia entre 0 e , a função de densidade marginal de é então

,

que é a função de densidade uma v. a. de média igual a 2.

De igual modo, a função de densidade marginal de é então

= = ,

pois = 1, que é a função de densidade de uma v. a.

Em síntese:

Θ e {},

vindo (1- ) ⟹ e = , em que são os números aleatórios gerados.

Fazendo o movimento inverso, temos

= cos2π ⟹ μ + σ cos2π

= sen2π μ + σ sen2π

Obs. Como é uniforme (0,1), (1-) é também uniforme (0,1). Na exponencial podemos igualmente considerar .

MR, 12-05-2015